Wahrscheinlichkeit im Klassenzimmer
Neues didaktisches Training berücksichtigt angeborene Denkstrukturen und hilft Schülern, statistische Probleme besser zu verstehen, zeigt eine neue Studie.
Um sich im Datendschungel zu orientieren, muss heute jeder auch statistische Informationen richtig verstehen und nutzen können. Leider bleibt nachweislich vom Schulwissen kaum etwas hängen. Das aber entmündigt uns in wichtigen Fragen: Wie sicher ist es zum Beispiel, dass wir nach einem positiv ausgefallenen Test auf Darmkrebs oder AIDS wirklich krank sind? Auch viele Ärzte können mit solchen bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht umgehen und geben ihren Patienten keine korrekte Auskunft.
Dr. Laura Martignon und Christoph Wassner vom Max-Planck-Institut für Bildungsforschung in Berlin (MPIB), sowie Professor Peter Sedlmeier von der TU Chemnitz wollen das nun mit einem neuen didaktischen Ansatz ändern: Sie verwenden natürliche Häufigkeiten anstatt der üblichen Wahrscheinlichkeitsmaße wie Prozentangaben oder Dezimalzahlen und greifen damit auf deutlich ältere kognitive Grundmuster unseres Gehirns zurück. Abhängigkeiten visualisieren sie mit so genannten Häufigkeitsbäumen. Dadurch lichtet sich das vormals undurchdringliche Gestrüpp von unsicheren Aussagen wie von selbst (Beispiel im Anschluss an den Text: Versuchen Sie es selbst!).
Ihre nun abgeschlossene Studie belegt die Überlegenheit des Baumtrainings: 67 Schüler und Schülerinnen sollten am Computer Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit lösen. Die eine Gruppe trainierte dafür mit einem schulüblichen formalen Lernprogramm, die andere lernte den Umgang mit den Häufigkeitsbäumen. Die Jugendlichen in den beiden Testgruppen hatten vergleichbare Mathematiknoten. Nach dem Training aber waren die Unterschiede deutlich: Die Gruppe, die mit dem formalen Training geübt hatte, war kaum besser in der Lage, neue Probleme zu lösen. Die "Häufigkeitsbaum-Gruppe" konnte dagegen fast 95 % der neuen Testaufgaben lösen, von denen ein Teil auch Transferleistungen erforderte, die nicht trainiert wurden. Getestet wurden Schüler der Kollegstufe und der Sekundarstufe I.
Martignon, Wassner und Sedlmeier haben ihr neues Trainingsprogramm auf kognitionspsychologischen Erkenntnissen der Forschungsgruppe "Adaptives Verhalten und Kognition" am MPIB um Direktor Gerd Gigerenzer aufgebaut. Umfassendes Material für erste Unterrichtseinsätze gibt ein Schulbuch mit dem Titel "Wahrscheinlichkeiten im Alltag" von Peter Sedlmeier mit begleitender Lern- und Trainingssoftware.
Die Studie zeigte, dass Schülerinnen und Schüler nach dem Training mit Häufigkeitsbäumen die Probleme wesentlich besser verstehen als die andere Gruppe. Eingeübtes Formelwissen wird dagegen bekanntlich schnell vergessen, solange das tiefere Verständnis fehlt. Die Häufigkeitsbäume sind jedoch so anschaulich und bleiben im Gedächtnis haften, dass sie auch später im Erwachsenenalter als einfache Denkhilfe dienen können. Martignon, Sedlmeier und Wassner planen nun eine systematische Schulstudie, in der sie die Methoden in Zusammenarbeit mit Lehrern und Lehrerinnen im Mathematikunterricht testen.
Weitere Fragen zur Studie beantwortet Christoph Wassner, Tel.: 030 / 8240-416, wassner@mpib-berlin.mpg.de, http://www-abc.mpib-berlin.mpg.de/users/wassner/
Auf Wunsch schicke ich Ihnen gerne eine kleine Zeichnung zu (als pdf-Datei, Umfang 400 k), die beide Lösungsmethoden veranschaulicht. Kontakt: roetger@mpib-berlin.mpg.de
Beispiel:
Ein auf AIDS spezialisiertes Forschungszentrum führt bei einer Therapiestelle für Drogensüchtige 'AIDS-Tests' (Tests auf das HIV-Virus) durch, bei der ungewöhnlich viele positive Fälle auftreten. Bevor die Psychologin dieser Therapiestelle die betroffenen Personen über ihr positives Ergebnis informiert (bzw. einen zweiten Test vorschlägt), möchte sie gerne wissen, wie sicher die Testergebnisse sind.
Dafür hat sie die folgenden Statistiken zur Verfügung:
- 2% der Personen, die bei dieser Therapiestelle getestet werden, sind tatsächlich mit dem HIV-Virus infiziert.
- 5% der Personen, die nicht HIV-infiziert sind, werden trotzdem positiv getestet (Falschalarm).
- 100%, d.h. alle Personen, die tatsächlich mit dem HIV-Virus infiziert sind, erhalten ein positives Testergebnis.
Die Frage lautet also: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person tatsächlich HIV-infiziert ist, wenn das Testergebnis positiv ist? Nahe bei 95 % ? Falsch! Sie liegt lediglich bei 29 %.
Kurzer Kommentar zu den beiden möglichen Lösungen:
Es handelt sich um die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, AIDS-krank zu sein unter der Bedingung, dass der Test positiv ausgefallen ist und im Wissen darum, dass es 5% falsch positive Resultate gibt. Dies berechnet man mit der Formel von Bayes: (Wahrscheinlichkeit der Infektion in der getesteten Population=0,02) * (Wahrscheinlichkeit, im Falle einer Infektion auch positiv zu testen=1) geteilt durch die Summe aus ((Wahrscheinlichkeit der Infektion in der getesteten Population=0,02) * (Wahrscheinlichkeit, im Falle einer Infektion auch positiv zu testen=1) + (Wahrscheinlichkeit in der getesteten Population nicht infiziert zu sein=0,98 * Wahrscheinlichkeit, dennoch positiv zu testen=0,05)) = 0,29 oder 29 %.
Diese Formel vergisst man allerdings schnell, wenn man sich nicht häufig mit diesen Fragen beschäftigen muss.
Auf die gleiche einfache Rechnung führt jedoch die Darstellung des Problems in einem Häufigkeitsbaum (der eher wie eine Wurzel aussieht, die sich von oben nach unten verzweigt): Oben steht die Zahl der insgesamt getesteten Personen, also 1000. Von diesen tausend Menschen sind 20 infiziert, 980 nicht. Das wird in der nächsten Ebene dargestellt. In der letzten Ebene sieht man bereits alle Zahlen, die für die Lösung erforderlich sind: Von den 20 HIV-Kranken erhalten alle 20 ein positives Testergebnis. Von den 980 nicht-infizierten Testpersonen erhalten jedoch 5% also, 49 Menschen, ebenfalls ein positives Testergebnis. Insgesamt haben also 20+49 Menschen ein positives Testergebnis, davon sind jedoch nur 20 wirklich krank, die andern sind falsch positiv getestet worden.
Die Wahrscheinlichkeit, mit einem positiven Testergebnis wirklich HIV-infiziert zu sein, ist demnach nicht nahe 100 % wie man auf den ersten Blick annehmen würde, sondern nur 20/(20+49)=29%.
Nur unwesentlich komplizierter werden diese Baumrepräsentationen, wenn man auch noch berücksichtigt, dass es in der Regel bei medizinischen oder sonstigen Tests nicht nur falsch positive Befunde gibt, sondern auch noch falsch negative (die Krankheit wird nicht erkannt). Fast nichts ist hundertprozentig sicher in unserer Welt, die Baumgrafen sind ein anschaulicher Weg, um damit umzugehen.
